Algèbre, chapitres 1 à 3

4 internautes sur 4 ont trouvé ce commentaire utile.Une excellente référencePar Henri BourlèsL'organisation de ce premier tome du livre d'Algèbre du Traité est très claire: au chapitre I les structures (monoïde, groupe, anneau, corps), au chapitre II l'algèbre linéaire (modules, espaces vectoriels), au chapitre III les algèbres (tensorielles, extérieures et symétriques). Les démonstrations sont toutes complètes et probablement optimales. Pierre Samuel écrivait de ce livre, dans Mathematical Reviews, qu'il était parfait.On peut aujourd'hui avoir une appréciation un peu différente.Au chapitre I, l'exposé sur les monoïdes aurait pu être l'occasion d'aborder les questions de divisibilité dans le cas non commutatif. La notion d'idéal (à gauche, à droite et bilatère) aurait également pu être définie dans le cadre des monoïdes. Enfin, un paragraphe supplémentaire sur les treillis aurait permis d'énoncer des théorèmes fondamentaux, car très unificateurs, comme ceux de Schreier, de Jordan-Hölder-Dedekind, de Krull-Schmidt et de Kurosh-Ore.Au chapitre II, Bourbaki a été peu novateur concernant les notations. Celles-ci auraient pu être améliorées en vue de la cohérence du calcul matriciel. Comme le dit Godement dans son livre d'algèbre, le calcul matriciel est adapté, sur un corps non commutatif, au cas des espaces vectoriels à droite. Cela est vrai quand on représente les vecteurs par des colonnes et un homomorphisme par la multiplication à gauche par la matrice associée. Dans le cas des espaces vectoriels à gauche, on retrouve une complète cohérence en représentant les vecteurs par des lignes et un homomorphisme par la multiplication à droite par la matrice associée. Il me semble qu'en procédant ainsi (ce que Bourbaki ne fait pas, mais ce que font depuis longtemps les spécialistes des D-modules) on rend les calculs beaucoup plus limpides.Au chapitre III, tous les éléments sont réunis pour traiter en une page environ les "déterminants de Dieudonné". Il me semble que cela en aurait valu la peine, au moins en exercice.Néanmoins, c'est un très bon livre d'algèbre, en concurrence il est vrai avec des livres excellents, notamment le "Cours d'algèbre" de Godement pour le niveau élémentaire, et à un niveau plus élevé les livres de Cohn ("Basic Algebra" ainsi que "Further Algebra and Applications"), et "Algebra" de Lang (ce dernier limité au cas commutatif).